第三章数量关系—数学运算
第一节数的整除特性
两个整数a、b，如果a÷b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除(或者说b能整除a)，称a是b的倍数(或者说b是a的约数)。
一、数的整除判定及性质
要判断一个数是否能被其他数整除，根据除数的不同，可通过查看被除数的末位数、数字和或数字差等方式来确定。
(一)看被除数末几位数
(1)只看被除数的个位，判断一个数能否被2、5整除时只看其个位数即可。
(2)看被除数末两位，判断一个数能否被4、25整除时看其末两位数即可。
(3)看被除数末三位，判断一个数能否被8整除时，看其末三位数即可。
(二)看被除数的各位数字和
①如果数a能被b整除，数b能被C整除，则a能被c整除。
②如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被C整除。
③如果数a能被c整除，m为任意整数，则a+m也能被c整除。
④如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和C互质．则数a能被b．c整除。
例如：72能被9整除，9能被3整除，则72能被3整除.
56能被8整除，16能被8整除，则56+16=
72、56—16=40均能被8整除。
39能被13整除．所以39×15也能被13
整除。
162自蜮。警除，也能被9整除(1+6+2：9)，
且2、9互质，所以162能被2x9=18整除。
二、完全平方数
如果一个数是另一个数的平方，那么我们称这个数为完全平方数，也叫做平方数。常见的完全平方数有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。
第二节最大公约数与最小公倍数
最大公约数：如果c是。的约数，c也是b的约数，那么我们称c是n和b的公约数。一般说来，两个数的公约数不止一个．我们把其中最大的一个公约数．称为这两个数的最大公约数。多个数之间的公约数和最大公约数也可以用类似方法定义。
互质：如果两个数最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数。两个数的公倍数有很多，我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。多个数之间的公倍数和最小公倍数也可以用类似的方法定义。
求最大公约数与最小公倍数主要有以下两种方法：分解质因数法、短除法。
一、分解质因数法
考生可采用分解质因数的方法求两个整数的最大公约数与最小公倍数，下面以两个数为例进行讲解．多个整数的情况可以类推。
分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。
最大公约数是两个数所有公有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3．所以24和60的最大公约数是2x2x3=12。
最小公倍数是两个数所有公有质因数和其各自独有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3，24的独有质因数是2，60的独有质因数是5，所以24、60的最小公倍数是2×2×3×2×5=120。
二、短除法
短除符号就是除号倒过来，在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后写下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止。
所以24、36的最大公约数为2×2×3=12；(左侧3个数之积)
最小公倍数为2×2×3×2×3=72。(左侧3个数与下边2个数之积）
三个数的情况与两个数的情况有所区别，要仔细体会。以下分别举例说明求12、30、150的最大公
约数与最小公倍数．
第三节 奇偶性与质合性
在考试中．数的奇偶性与质合性都是在具体情境中结合其他知识要点一起考查的，很少作为独立的知识点来考核。
奇数：不能被2整除的整数；
偶数：能被2整除的整数，零也是偶数。奇偶性主要指以下这些性质：
①奇数+奇数=偶数，奇数-奇数=偶数②偶数十偶数=偶数，偶数-偶数=偶数③奇数+偶数=奇数，奇数--偶数=奇数④奇数×偶数=偶数
⑤奇数×奇数=奇数⑥偶数×偶数=偶数总之：加法／减法——同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇；
乘法——乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。质数：只能被l和其本身整除的数。
17只能被1和17整除，则17是质数。
合数：除了1和其本身，还可以被其他整数整除的数。
6除了能被1和6整除以外，还能被2和3整除，则6是合数。质合性需要注意以下几点：
①1既不是质数也不是合数，2是唯一的一个偶质数；②20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。
【例题1】一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了多少道题?
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：此题答案为A。小明的得分=2×答对题数一答错题数，因为2×答对题数肯定为偶数，得分为奇数．所以答错的题数为奇数，排除B、D。
假如答错3道题，则答对(23+3)÷2=13道题，未答的题是20-3-13=4道，符合条件，选择A。
假如答错5道题。则答对(23+5)÷2=14道题，未答的题是20-5-14=1道，与题干未答的题的数目是偶数矛盾，排除C。
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